==Causal Effects 估計範例==
in Angrist and Pischke (2017, JEP, p130-132)，主要提出觀念的是 Dale and Kruger (2002, QJE)
他們想估計美國唸私立大學和唸公立大學的差異，用較明確的因果關係為主的估計法。
Casusal Effect: 在申請入學時，同時接到私大和州大入學許可，但最後後選擇唸私大、或州大的學生為樣本：
Yi: 全部的樣本的畢業生所得，可觀察的，其中又分為兩類
Y1i : 第 i 個樣本的「受私校教育後」所得
Y0i : 第 i 個樣本的「受州校教育後」所得
以上兩個，令
Pi: ＝1 if 第 i 個樣本唸私立，＝0 otherwise 唸州立大學
合理的假設是，每個人在受大學教育之前，原本就有一定的能力
Y10 : 第 i 個樣本的原來能力
重點：美國私立大學教學效果，是否來自教學，還是學生的本質。
因為好學生集中去唸名私校，所以畢業後收入高，不見得是私校的努力。這個稱為 selection bias 樣本選擇偏誤。
私校的教學效果 (用大概畢業20年後的 earning 來衡量) 之差異為：
Y1i – Y0i
若教學有效的話，然後差異的平均是 β
H0 : E(Y1i – Y0i) = β>0
假設E(Y0i) = α, 即
Y0i ＝α + ηi
α 為學生原來的潛力， ηi是誤差，或個別差異，這個個別差異會和選私校有關係，例如家庭背景、爸媽是否畢業於私立..。
Caussal-Effect model
Yi = α+βPi+ηi
Pi 和 ηi 是(統計上)不獨立的，也就是無法滿足迴歸上原來的獨立性要求。
這個 causal-effect model 的想法創新就在此，他們提出比較不嚴格的「條件獨立性假設」(conditional independence assumption)，
E(ηi|Pi,Xi) = E(ηi|Xi)
所以要找其它的可能影響畢業後所得能力的變數 X (例如 SAT 的分數…)，又稱為控制變數 control variable，來加入估計，觀念上是
E(ηi|Pi,Xi) = E(ηi|Xi) = γXi
所以， causal-effect model 最後就變成
Yi=α+βPi+γXi+ηi
此法可建構出 unbiased 和 consistent 的 β 估計，而且它有明確的意義：唸私校和唸公校的「效果差異」平均值。
==ref==
Angrist, Joshua D., and Jörn-Steffen Pischke. “Undergraduate econometrics instruction: through our classes, darkly." Journal of Economic Perspectives, 31.2 (2017): 125-44.
Dale, Stacy Berg, and Alan B. Krueger. “Estimating the payoff to attending a more selective college: An application of selection on observables and unobservables." The Quarterly Journal of Economics, 117.4 (2002): 1491-1527.
行為 & 經濟實驗文獻注 (備忘) by 楊奕農 